Manfred Knebusch Livres

A Mathematician Said Who Can Quote Me a Theorem that’s True? For the ones that I Know Are Simply not So, When the Characteristic is Two! This pretty limerick ?rst came to my ears in May 1998 during a talk by T.Y. Lam 1 on ?eld invariants from the theory of quadratic forms. It is—poetic exaggeration allowed—a suitable motto for this monograph. What is it about? At the beginning of the seventies I drew up a specialization theoryofquadraticandsymmetricbilinear formsover ?elds[32].Let? : K? L?? be a place. Then one can assign a form? (?)toaform? over K in a meaningful way ? if? has “good reduction” with respect to? (see§1.1). The basic idea is to simply apply the place? to the coe?cients of?, which must therefore be in the valuation ring of?. The specialization theory of that time was satisfactory as long as the ?eld L, and therefore also K, had characteristic 2. It served me in the ?rst place as the foundation for a theory of generic splitting of quadratic forms [33], [34]. After a very modest beginning, this theory is now in full bloom. It became important for the understanding of quadratic forms over ?elds, as can be seen from the book [26]of Izhboldin–Kahn–Karpenko–Vishik for instance. One should note that there exists a theoryof(partial)genericsplittingofcentralsimplealgebrasandreductivealgebraic groups, parallel to the theory of generic splitting of quadratic forms (see [29] and the literature cited there).

Inhaltsverzeichnis I Angeordnete Körper und ihre reellen Abschlüsse. §1. Anordnungen und Präordnungen von Körpern. §2. Quadratische Formen, Wittringe, Signaturen. §3. Fortsetzung von Anordnungen. §4. Die Primideale des Wittrings. §5. Reell abgeschlossene Körper und ihre körpertheoretische Charakterisierung. §6. Galoistheoretische Kennzeichnung der reell abgeschlossenen Körper. §7. Zählen reeller Nullstellen von Polynomen (ohne Vielfachheiten). §8. Begriffliche Deutung der Sylvesterform. §9. Cauchy-Index einer rationalen Funktion, Bézoutiante und Hankelformen. §10. Eine obere Abschätzung für die Anzahl reeller Nullstellen (mit Vielfachheiten). §11. Der reelle Abschluss eines angeordneten Körpers. §12. Verlagerung quadratischer Formen. II Konvexe Bewertungsringe und reelle Stellen. §1. Konvexe Teilringe angeordneter Körper. §2. Bewertungsringe. §3. Ganze Elemente. §4. Bewertungen, Ideale von Bewertungsringen. §5. Restklassenkörper und Teilkörper von konvexen Bewertungsringen. §6. Die Topologie von angeordneten und bewerteten Körpern. §7. Der Satz von Baer-Krull. §8. Reelle Stellen. §9. Die Anordnungen von R(t), R((t)) und Quot IR {t}. §10. Komposition und Zerlegung von Stellen. §11. Existenz von reellen Stellen auf Funktionenkörpern. §12. Artins Lösung des 17. Hilbertschen Problems und das Zeichenwechsel Kriterium. III Das reelle Spektrum. §1. Das Zariski-Spektrum. Affine Varietäten. §2. Realität i

InhaltsverzeichnisI: Basic facts about symmetric bilinear forms, and definition of the Wittring..§ 1 Bilinear Spaces.§ 2 Witt- and Grothendieck-rings.Appendix: Quadratic Forms.II: The structure of Wittrings.§ 1 Generators and Relations.§ 2 The prime ideals of a Wittring.§ 3 Nilpotent and torsion elements.§ 4 Application: The theorem of Artin-Pfister.§ 5 Complements to the structure theory.§ 6 Characterization of abstract Wittrings.§ 7 Fields with isomorphic Wittrings.III: Reduced Wittrings.§ 1 Von Neumann regular rings.§ 2 Topological description of reduced Wittrings.§ 3 A Nullstellensatz for Witt ideals and a generalization of the theorem of Artin-Pfister.§ 4 When are Wittrings group rings?.§ 5 Fields with strong approximation for orderings.References.