Detlef D. Spalt Livres

Focusing on the historical development of mathematical analysis, the book delves into key concepts such as function, continuity, and convergence. It highlights the contributions of renowned mathematicians like Newton, Leibniz, and Euler, while emphasizing Karl Weierstraß's often-overlooked ideas on real numbers. Through a comprehensive survey, it illustrates the evolution of analysis over time and its ongoing relevance in contemporary mathematics, making complex ideas accessible and engaging for readers.

Dieses essential stellt in kondensierter Form eine Neuinterpretation der Weierstraß'schen Konstruktion der reellen Zahlen vor: Ein vergleichsweise neuer Quellenfund lässt darauf schließen, dass der Weierstraß'sche Zahlbegriff bereits auf Mengenbegriffen basierte und somit sehr viel elementarer ist, als bislang angenommen wurde.Die beiden bislang bekanntesten Alternativdefinitionen der reellen Zahlen - mittels rationaler Folgen und Konvergenz (Cantor) bzw. als Segmente (Dedekind) - werden hier ebenfalls kurz erläutert und mit der Weierstraß'schen Konstruktion verglichen.Eine ausführliche Darstellung anhand der Originalquellen findet sich in Spalt, Die Grundlegung der Analysis durch Karl Weierstraß (Springer Spektrum, 2022). Inhaltsverzeichnis Die Idee: Wie es wurde.- Strenger Aufbau: Was es ist.- Was vorher war: Folgen und Segmente.- Vergleich: Welches ist die elementarere Version der reellen Zahlen?.- Nachtrag: Weierstraß Begriffe der natürlichen Zahl (und der ihrer genauen Teile) sowie der Zahlgröße.

Die Entdeckung einer Vorlesungsaufzeichnung von Karl Weierstraß aus dem Jahr 1880/81 enthüllt erstmals seine innovative Vorstellung von Zahlen, die bis dahin unbekannt war. Diese Aufzeichnung klärt nicht nur Weierstraß' Denkweise in Mengenbegriffen, sondern erklärt auch, warum seine Ideen lange Zeit missverstanden wurden. Der Fund bietet einen einzigartigen Einblick in die Grundlagen der modernen Analysis und zeigt, dass Weierstraß' Konzepte weit über das hinausgingen, was zu seiner Zeit allgemein anerkannt war.

Wer Analysis lernt, fragt sich irgendwann: Wie und warum kamen all diese merkwürdigen Begriffe zustande – Zahl, Funktion, Stetigkeit, Konvergenz, Differenzial, Integral? Wer hat eigentlich die mathematische Formel erfunden? Aber auch: Wovon handelt Mathematik überhaupt? Von unbezweifelbaren Wahrheiten? Von nützlichen Konstruktionen? Ist Mathematik Glaubenssache? Diese und viele andere Fragen werden anhand der Originalliteratur aus den letzten 350 Jahren beantwortet: Newton, Leibniz, Johann Bernoulli, Euler, d'Alembert, Bolzano, Cauchy, Riemann, Weierstraß, Cantor, Dedekind, Hilbert, Schmieden und Laugwitz. Die Herkunft der heutigen Fachbegriffe aus ihren philosophischen Wurzeln wird so für den Leser nachvollziehbar, er erkennt die Brüchigkeit der teils willkürlich gesetzten Aspekte und erlebt den dadurch bedingten Wandel mathematischer Grundbegriffe. Das Buch ist knapp, präzise und zugleich sehr anschaulich verfasst. Wer es verstehen will, muss schon einmal Erfahrung mit Analysis gemacht und von Funktion, Stetigkeit und Konvergenz etwas gehört haben – zum Verständnis sind aber fast überall Abiturkenntnisse ausreichend. Das Buch ist somit sowohl für Lehramtsstudierende und interessierte Mathematiker als auch Historiker und Philosophen geeignet.

Titel wie „6000 Jahre Mathematik“, „5000 Jahre Geometrie“, „4000 Jahre Algebra“ und „3000 Jahre Analysis“ sind grundfalsch. Die Mathematik, mit der wir es zu tun haben, hat ihre Formierungsgeschichte in den letzten knapp 400 Jahren erfahren. Diese Studie zeigt, wie heftig um jeden der Grundbegriffe der Mathematik (wie Zahl, Größe, Wert, Funktion, Differenzial) gerungen wurde, bis er in der heutigen Weise geprägt war. Es ist eine unendliche Geschichte um kleinste Details, die in kürzester Zeit im Streit durchfochten wurde und dennoch nicht ohne Vagheiten auskam, weil sich nichts Besseres finden ließ - für die Rechnung aber reichte es allemal. Zugleich bedeutet die Darstellung der Analysis seit Descartes eine Würdigung der Arbeit der Mathematiker und deren Konsequenzen: den dramatischen Begriffs- und damit Bedeutungswandel grundlegender Lehrsätze der Analysis.

In dieser Studie wird der Cauchysche Aufbau der Differential- und Integralrechnung aus den Grundlagen heraus nachvollzogen. Erstmals wird hier dargelegt, wie sich die Differential- und Integralrechnung in Cauchys eigener Begriffswelt ausformt. Dabei wird dann ganz von selbst deutlich, daß die Besonderheiten und die sogenannten Fehler Cauchys sich in dessen Begriffswelt als stimmig erweisen und wahre, korrekt bewiesene Lehrsätze sind. Durch seine Analyse kommt der Autor zu dem Ergebnis, daß Cauchys Differential- und Integralrechnung eine eigenständige Lehre ist, die sich von jeder der heute aktuellen Theorien klar unterscheidet.