Werner Krabs Livres

At the end of the nineteenth century Lyapunov and Poincaré developed the so called qualitative theory of differential equations and introduced geometric- topological considerations which have led to the concept of dynamical systems. In its present abstract form this concept goes back to G. D. Birkhoff. This is also the starting point of Chapter 1 of this book in which uncontrolled and controlled time-continuous and time-discrete systems are investigated. Controlled dynamical systems could be considered as dynamical systems in the strong sense, if the controls were incorporated into the state space. We, however, adapt the conventional treatment of controlled systems as in control theory. We are mainly interested in the question of controllability of dynamical systems into equilibrium states. In the non-autonomous time-discrete case we also consider the problem of stabilization. We conclude with chaotic behavior of autonomous time discrete systems and actual real-world applications.

In general, several mathematical models can be designed in order to describe a biological or medical process and there is no unique criterion which model gives the best description. This book presents several of these models and shows applications of them to different biological and medical problems. The book shows that operations research expertise is necessary in respect to modeling, analysis and optimization of biosystems.

InhaltsverzeichnisI Lineare Probleme.II Konvexe Probleme.III Nichtlineare Probleme.IV Anhang: Hilfsmittel.

Mathematisch präzise führt dieses Lehrbuch in die Grundlagen der Spieltheorie und deren dynamische Behandlung ein. Dabei werden zugleich die wichtigen Anwendungsmöglichkeiten dieser Theorie z. B. in den Wirtschaftswissenschaften aufgezeigt und anhand von Beispielen erläutert. Beginnend mit der Arbeit von John von Neumann über die Theorie der Gesellschaftsspiele führt Sie dieses Buch bis zu den modernen Konzepten der dynamischen Behandlung von Spielen.

J. P. La Salle has developed in [20] a stability theory for systems of difference equations (see also [8]) which we introduce in the first chapter within the framework of metric spaces. The stability theory for such systems can also be found in [13] in a slightly modified form. We start with autonomous systems in the first section of chapter 1. After theoretical preparations we examine the localization of limit sets with the aid of Lyapunov Functions. Applying these Lyapunov Functions we can develop a stability theory for autonomous systems. If we linearize a non-linear system at a fixed point we are able to develop a stability theory for fixed points which makes use of the Frechet derivative at the fixed point. The next subsection deals with general linear systems for which we intro duce a new concept of stability and asymptotic stability that we adopt from [18]. Applications to various fields illustrate these results. We start with the classical predator-prey-model as being developed and investigated by Volterra which is based on a 2 x 2-system of first order differential equations for the densities of the prey and predator population, respectively. This model has also been investigated in [13] with respect to stability of its equilibrium via a Lyapunov function. Here we consider the discrete version of the model.

KlappentextDas vorliegende Buch behandelt in einem einleitenden Kapitel ungesteuerte Systeme sowohl Zeit-kontinuierlich als auch Zeit-diskret hinsichtlich asymptotischen Verhaltens. In einem folgenden Kapitel werden gesteuerte Systeme untersucht. Schwerpunktmäßig geht es dabei um die Steuerbarkeit der Systeme in Gleichtgewichtszustände. Diese Fragestellung liegt auch dem Kapitel über dynamische Spiele zugrunde und wird sowohl kooperativ als auch nicht-kooperativ behandelt. Das letzte Kapitel befaßt sich mit chaotischem Verhalten primär Zeit-diskreter Systeme und geht auf verschiedene Chaosdefinitionen ein, die teilweise miteinander verglichen werden. „... The book gives an excellent introduction to the many different points of view on dynamical systems. ...“ F. Colonius. Mathematical Reviews

Im landläufigen Mathematikunterricht an Schulen und Hochschulen wird die Mathematik überwiegend als eine geistige Disziplin vermittelt, in der es um die Klarheit und Stringenz des Denkens geht. Systematik und formale Eleganz der Darstellung stehen im Vorder grund. Dabei wird aber ignoriert, daß die Mathematik nicht allein aus sich heraus lebt, sondern in andere Bereiche unserer Kultur eingebunden ist. Ohne allzusehr zu übertreiben, kann man sogar behaupten, daß sie ein integrativer Bestandteil unserer technologischen Welt ist und damit einen Einfluß ausübt, der weit über ihr Selbstverständnis hinausgeht. Mit der Sprache der Mathematik lassen sich auch nicht-mathematische Inhalte, zu mindest bis zu einem gewissen Grade ausdrücken. Man gelangt auf diese Weise oft zu Einsichten, die man ohne die Sprache der Mathematik nicht so klar und präzise aus drücken könnte. Man muß dabei allerdings auch beachten, daß mit der Umsetzung nicht mathematischer Sachverhalte in Mathematik eine starke Vereinfachung einhergeht als Preis für die mathematische Abstraktion. Diese Vereinfachung muß bei der Interpretation der durch Mathematik gewonnenen Einsichten berücksichtigt werden. Der Zweck dieses Buches besteht darin, die soeben skizzierte Rolle der Mathematik ins Bewußtsein der Mathematiker zu bringen. Danken möchte ich Frau A. Garhammer für das Schreiben dieses Buchtextes auf dem Computer und Herrn S. Bott für die Herstellung der Graphiken.

Inhaltsverzeichnis 1. Einführung in die lineare Optimierung. 1.1. Beispiele linearer Optimierungsprobleme und graphische Lösungsmethoden für Probleme mit zwei Variablen. 1.2. Das allgemeine lineare Optimierungsproblem. 1.3. Die Simplexmethode. 2. Minimierung von Funktionen ohne Nebenbedingungen. 2.1. Probleme der Ausgleichsrechnung; die Methode der kleinsten Quadrate. 2.2. Minimierung differenzierbarer Funktionen. 2.3. Abstiegsmethoden. 2.4. Bibliographische Bemerkungen. 3. Minimierung von Funktionen unter linearen Nebenbedingungen. 3.1. Ausgleichsrechnung unter linearen Nebenbedingungen und allgemeine Problemstellung. 3.2. Notwendige und hinreichende Bedingungen für Minimalpunkte. 3.3. Methoden der zulässigen Richtungen. 3.4. Quadratische Optimierung. 3.5. Bibliographische Bemerkungen. 4. Minimierung von Funktionen unter nichtlinearen Nebenbedingungen. 4.1. Nebenbedingungen in Form von Gleichungen. 4.2. Methoden zur Minimierung von Funktionen unter Gleichungsnebenbedingungen. 4.3. Nebenbedingungen in Form von Ungleichungen. 4.4. Die Methode der zulässigen Richtungen. 4.5. Penalty- und Barriere-Methoden. 4.6. Nebenbedingungen in Form von Gleichungen und Ungleichungen. 4.7. Bibliographische Bemerkungen. 5. Einige Optimierungsprobleme aus dem Ingenieurwesen und der chemischen Verfahrenstechnik. 5.1. Berechnung von chemischen Gleichgewichten. 5.2. Ein Optimierung