Rolf Herman Nevanlinna Livres

Die Arbeit untersucht eindeutige analytische Funktionen aus verschiedenen Perspektiven und fokussiert sich auf die Eigenschaften eines spezifischen analytischen Funktionselements. Es wird ein schlichtes Gebiet G betrachtet, in dem jedem inneren Punkt ein rationales Element der Funktion w(z) zugeordnet ist, während Randpunkte als wesentliche Singularitäten auftreten. Die Analyse unterscheidet zwischen elliptischen, parabolischen und hyperbolischen Fällen, wobei die Riemannsche Fläche G eine konforme Abbildung der Funktion w(z) darstellt. Die Umkehrfunktion z = z(w) bleibt aufgrund der Eindeutigkeit von w(z) eindeutig und einwertig.

Die Arbeit behandelt die Uniformisierung mehrdeutiger Relationen zwischen Objekten zweier Mengen, insbesondere in der komplexen Analysis. Der Fokus liegt auf der Suche nach einer Parameterdarstellung, die es ermöglicht, die Punktepaare einer analytischen Relation eindeutig einer dritten Riemannschen Fläche zuzuordnen. Besonders hervorgehoben wird der Fall, in dem die Fläche schlichtartig ist und als Teilgebiet der komplexen Zahlen dargestellt werden kann. Ziel ist es, die Beziehung durch analytische Funktionen sowohl lokal als auch global zu uniformisieren.

Es wird gezeigt, dass das Axiom die Definition einer multiplikativen Untergruppe des Körpers der Inzidenzebene darstellt. Ein Punkt liegt nicht zwischen zwei anderen kollinearen Punkten, wenn das Doppelverhältnis ein Element der Untergruppe ist. Umgekehrt erfüllt das Axiomensystem die Bedingungen einer beliebigen multiplikativen Untergruppe. Ein vollständiges Axiomensystem der Anordnung wird erreicht, wenn durch ein zusätzliches Axiom die größte eigentliche Untergruppe, wie die mit Index 2 bei ungerader Charakteristik, ausgewählt wird. Im Abschnitt 2.5 wird gezeigt, dass das schärfere Paschsche Axiom genau diese Untergruppe mit Index 2 auswählt. Kapitel 3 behandelt die Kongruenzrelation (eine euklidische Metrik), die durch die gleichen Axiome wie im ersten Teil des Buches, jedoch ohne die Annahme über die Beschränktheit der Eichkurve, zur vollständigen Inzidenzebene des ersten Kapitels hinzugefügt wird. In Teil 3.3 wird bewiesen, dass dieses Axiomensystem für Ebenen mit ungerader Charakteristik vollständig ist, wobei Axiom 3.2 etwas schwächer formuliert werden muss, um die Existenz von zwei inkommensurablen Eichkurven zuzulassen. Der wesentliche Teil des Beweises ist das Theorem 3.7 von Segre.