Jürgen Appell est professeur à l'Institut de Mathématiques de l'Université de Würzburg en Allemagne.
This monographis a self-contained exposition of the definition and properties of functionsof bounded variation and their various generalizations; the analytical properties of nonlinear composition operators in spaces of such functions; applications to Fourier analysis, nonlinear integral equations, and boundary value problems. The book is written for non-specialists. Every chapter closes with a list of exercises and open problems.
The book contains a collection of 21 original research papers which report on recent developments in various fields of nonlinear analysis. The collection covers a large variety of topics ranging from abstract fields such as algebraic topology, functional analysis, operator theory, spectral theory, analysis on manifolds, partial differential equations, boundary value problems, geometry of Banach spaces, measure theory, variational calculus, and integral equations, to more application-oriented fields like control theory, numerical analysis, mathematical physics, mathematical economy, and financial mathematics. The book is addressed to all specialists interested in nonlinear functional analysis and its applications, but also to postgraduate students who want to get in touch with this important field of modern analysis. It is dedicated to Alfonso Vignoli who has essentially contributed to the field, on the occasion of his sixtieth birthday.
Das Buch führt in die Theorie der reellen Funktionen einer und mehrerer Variablen ein. Im Vordergrund stehen weniger abstrakte Ergebnisse als vielmehr die zahlreichen Beispiele und Gegenbeispiele, anhand derer die Bedeutung mathematischer Sätze deutlich gemacht wird. Kapitel 1 – 3 sind den wesentlichen Ergebnissen über stetige, differenzierbare und integrierbare Funktionen gewidmet, Kapitel 4 geht mit „merkwürdigen" Teilmengen der reellen Achse etwas über den üblichen Stoff hinaus. Funktionen mehrerer Variablen werden in Kapitel 5 bzw. 6 behandelt.
Vektorräume, Operatoren und Fixpunktsätze
Dieses Lehrbuch gibt eine Einführung in Theorie, Methoden und Anwendungen der Funktionalanalysis. Im Unterschied zur Analysis in den Anfängervorlesungen arbeitet man in der Funktionalanalysis vor allem in unendIichdimensionalen Räumen. Dort treten viele überraschende Phänomene auf, die im Endlichdimensionalen „verborgen“ bleiben. Eine herausragende Rolle spielt der Begriff der Kompaktheit, der in vielen Anwendungen auf Differentialgleichungen, Integralgleichungen und Fixpunktprobleme von Wichtigkeit ist und sozusagen eine „Brücke“ zwischen dem Endlichen und Unendlichen bildet. Dies ist das erste Buch, das eine elementare Einführung sowohl in die Lineare als auch in die Nichtlineare Funktionalanalysis gibt und viele Wechselwirkungen zwischen beiden diskutiert. Ein besonderer Vorteil des Buches liegt auch darin, dass es oft von Beispielen und Gegenbeispielen ausgeht, nicht von abstrakten Überlegungen.
Given the importance of spectral theory of linear operators in mathematics and physics, efforts have been made to define spectra for nonlinear operators. This book offers a comprehensive treatment of nonlinear spectral theory, covering its theory, methods, and applications. The first chapter reviews the definition and properties of the spectrum for bounded linear operators, introducing numerical characteristics for nonlinear operators that help describe classes suitable for spectral theory. The third chapter gathers conditions for the local or global invertibility of nonlinear operators, linking spectral values to solvability results for operator equations. Subsequent chapters focus on spectra for specific classes of continuous, Lipschitz continuous, or differentiable operators, adapting definitions from linear theory, though this limits their applicability. Other spectra, defined differently and with practical applications, are explored in the following chapters. The final chapters emphasize applications, addressing nonlinear eigenvalue problems, numerical ranges, and selected nonlinear problems. A basic understanding of functional analysis and operator theory is the only prerequisite, making this work accessible to non-specialists interested in the evolution of spectral theory for nonlinear operators over the past 30 years and the current research landscape.