Lothar Collatz Livres

Inhaltsverzeichnis D. Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen.- I. Gewöhnliche Differentialgleichungen.- II. Partielle Differentialgleichungen erster Ordnung.- III. Hyperbolische Differentialgleichungen.- IV. Parabolische Differentialgleichungen.- Literatur.- E. Rand- und Eigenwertprobleme bei gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen und Integralgleichungen.- I. Randwertaufgaben bei gewöhnlichen Differentialgleichungen, Integralgleichungen.- II. Randwertaufgaben bei partiellen Differentialgleichungen.- III. Potentialprobleme und andere Aufgaben der Mathematischen Physik.- IV. Eigenwertaufgaben bei Differential- und Integralgleichungen.- V. Beziehungen der Variationsrechnung.- VI. Exakte Lösung und Einführung in die numerische Behandlung.- VII. Differenzen- und Quadraturverfahren.- VIII. Iterationsverfahren.- Literatur.

Der Fokus liegt auf den Veränderungen in der numerischen Mathematik, die durch moderne Großrechenanlagen und abstrakte Methoden geprägt sind. Der Autor beleuchtet den Trend zur Abstraktion und die zunehmende Vermischung der Grenzen zwischen mathematischen Disziplinen. Besonders die Funktionalanalysis wird als fundamentale Grundlage sowohl der reinen als auch der angewandten Mathematik hervorgehoben. Ziel des Buches ist es, die künstliche Trennung zwischen diesen Bereichen zu hinterfragen und die Einheit der Mathematik zu betonen, die aus verschiedenen miteinander verbundenen Teilgebieten besteht.

InhaltsverzeichnisI. Lineare Optimierung.§ 1. Einführung.1.1. Grundtyp der Optimierungsaufgaben.1.2. Der Grundtyp in Matrizenschreibweise.§ 2. Lineare Optimierung und Polyeder.2.1. Zulässige Punkte und Minimalpunkte.2.2. Weitere Ergebnisse über Ecken und Minimalpunkte.2.3. Basis einer Ecke.§ 3. Eckenaustausch und Simplexmethode.3.1. Eckenaustausch.3.2. Simplexverfahren.3.3. Entartete Ecken.3.4. Bestimmung einer Ausgangsecke.§ 4. Algorithmische Durchführung des Simplexverfahrens.4.1. Beschreibung des Schemas.4.2. Durchführung eines Austauschschrittes.4.3. Beispiel.4.4. Simplexmethode bei Gleichungen als Nebenbedingungen.4.5. Nachträgliche Hinzufügung einer Variablen.4.6. Simplexverfahren mit Variablen ohne Vorzeichenbeschränkung.4.7. Sonderformen des Simplexverfahrens.A. Das revidierte Simplexverfahren.B. Das duale Simplexverfahren.C. Ganzzahlige lineare Optimierung.4.8. Transportaufgaben und ihre Lösung durch das Simplexverfahren.§ 5. Duale lineare Optimierungsaufgaben.5.1. Dualität bei Nebenbedingungen in Form von Gleichungen.5.2. Symmetrische duale Probleme mit Ungleichungen als Nebenbedingungen.5.3. Dualität bei gemischten Problemen.5.4. Lineare Optimierung und Dualität in der Baustatik.5.5. Alternativsätze für Systeme von linearen Gleichungen und Ungleichungen.5.6. Ein zweiter Weg zur Behandlung der Dualität.5.7. Lineare Optimierungsaufgaben mit unendlich vielen Restriktionen.II. Konvexe Optimierung.§ 6. Einführung.6.1. Nichtlineare Optimierungsaufgaben.6.2. Konvexe Funktionen.6.3. Konvexe Optimierungsaufgaben.6.4. Weitere Typen nichtlinearer Optimierungsaufgaben.6.5. Einfache Sätze über die Varianten der Konvexität.6.6. Klassifikation nichtlinearer differenzierbarer Optimierungsaufgaben.6.7. Klassen konvexer und pseudokonvexer Funktionen.6.8. Weitere Beispiele stetiger Optimierungsaufgaben.6.9. Beispiele ganzzahliger Optimierungen.§ 7. Charakterisierung einer Minimallösung bei konvexer Optimierung.7.1. Sattelpunktsatz von Kuhn und Tucker.7.2. Einschließungssatz.§ 8. Konvexe Optimierung mit differenzierbaren Funktionen.8.1. Lokale Kuhn-Tucker-Bedingungen.8.2. Eine Charakterisierung der Menge der Minimallösungen.8.3. Konvexe Optimierung mit differenzierbaren Funktionen.8.4. Definitheitsbedingungen bei nichtlinearen Optimierungsaufgaben.§ 9. Konvexe Optimierung mit affin-linearen Restriktionsfunktionen.9.1. Ein Satz über konvexe Funktionen.9.2. Der Kuhn-Tucker-Satz für Optimierungsaufgaben mit affinlinearen Restriktionsfunktionen und konvexer Zielfunktion.§ 10. Numerische Behandlung von konvexen Optimierungsaufgaben.10.1. Die Methode der Schnittebenen. Herleitung und Konvergenzbeweis.10.2. Zur numerischen Durchführung der Methode der Schnittebenen.III. Quadratische Optimierung.§ 11. Einführung.11.1. Definitionen.11.2. Zuteilungen und quadratische Optimierung.§ 12. Kuhn-Tucker-Satz und Anwendungen.12.1. Spezialisierung des Kuhn-Tucker-Satzes auf quadratische Optimierungsaufgaben.12.2. Existenz einer Lösung und Einschließungssatz.12.3. Der Kuhn-Tucker-Satz für quadratische Optimierungsaufgaben mit verschiedenen Typen von Restriktionen.A. Nebenbedingungen in Form von Gleichungen.B. Nicht vorzeichenbeschränkte Variable.§ 13. Dualität bei quadratischer Optimierung.13.1. Formulierung des dualen Problems.13.2. Der Dualitätssatz.13.3. Symmetrische Form des Dualitätssatzes.§ 14. Numerische Behandlung von quadratischen Optimierungsaufgaben.14.1. Das Verfahren der Schnittebenen bei quadratischen Optimierungsaufgaben.14.2. Beispiel zum Verfahren der Schnittebenen.14.3. Das Verfahren von Wolfe.14.4. Beispiel zum Verfahren von Wolfe.IV. Tschebyscheff-Approximation und Optimierung.§ 15. Einführung.15.1. Approximation als Optimierung.15.2. Verschiedene Typen von Approximationsaufgaben.15.3. Randwertaufgaben bei elliptischen Differentialgleichungen und Tschebyscheff-Approximation.15.4. Kontrahierende Abbildungen in pseudometrischen Räumen und einseitige Tschebyscheff-Approximation.15.5. Randwertaufgaben und Optimierung.§ 16. Diskrete lineare Tschebyscheff-Approximation.16.1. Zurückführung auf lineare Optimierungsaufgaben.16.2. Dualisierung.16.3. Weitere Aufgaben der diskreten T-Approximation.A. Diskrete lineare T-Approximation mehrerer Funktionen.B. Diskrete einseitige T-Approximation.C. Eingeschränkte Fehlerquadratmethode.§ 17. Weitere Typen von Approximationsaufgaben.17.1. Diskrete nichtlineare Tschebyscheff-Approximation.17.2. Lineare kontinuierliche Tschebyscheff-Approximation.17.3. Nichtlineare Approximationen, bei denen nichtkonvexe Optimierungsaufgaben auftreten.17.4. Distanzierungsaufgaben und Optimierung.17.5. Lineare T-Approximation im Komplexen.V. Elemente der Spieltheorie.§ 18. Matrix-Spiele (Zweipersonen-Nullsummenspiele).18.1. Definition und Beispiele.18.2. Strategien.18.3. Erreichbarer Gewinn und Sattelpunkts-Spiele.18.4. Der Hauptsatz der Theorie der Matrixspiele.18.5. Matrixspiele und lineare Optimierungsaufgaben.18.6. Beispiele für die Durchrechnung von Matrixspielen mit Hilfe des Simplexverfahrens.§ 19. n-Personen-Spiele.19.1. Einführung.19.2. Nicht kooperative Spiele.19.3. Kooperative n-Personen-Nullsummenspiele.19.4. Charakteristische Funktion des Spieles.19.5. Strategisch äquivalente Spiele. Wesentliche Spiele.19.6. Symmetrische n-Personenspiele.1. Der Trennungssatz.2. Ein Existenzsatz für quadratische Optimierungsaufgaben.Aufgaben.Literatur.Namen- und Sachverzeichnis.

Die Darstellung von Differentialgleichungen wird in diesem Werk behutsam modernisiert, um Ingenieuren und Naturwissenschaftlern ein besseres Verständnis zu ermöglichen. Während viele Lehrbücher oft abstrakt und funktionalanalytisch sind, wird hier Wert auf konkrete Anwendungen gelegt. Um den Zugang zu moderner mathematischer Literatur zu erleichtern, wird der grundlegende Existenz- und Eindeutigkeitssatz sowohl klassisch als auch funktionalanalytisch präsentiert, wobei der Leser erkennt, dass die Beweise in beiden Fällen ähnlich sind. Es wird auf die allgemeine Situation der Mathematik hingewiesen, die oft Gefahr läuft, Abstraktionen zu überbewerten und konkrete Anwendungen zu vernachlässigen. Dies führt dazu, dass Ingenieure mit praktischen Differentialgleichungen oft besser umgehen können als Mathematiker, was der Mathematik schadet. In der zweiten Auflage wurde das Werk durch die Unterstützung von Prof. Dr. Günter Meinardus, Dr. Alfred Meyer und Dr. Rüdiger Nicolovius erheblich verbessert. Sie haben nicht nur das Zahlenmaterial sorgfältig überprüft, sondern auch wertvolle Ergänzungen und Verbesserungsvorschläge gemacht, die zur Übersichtlichkeit und Vollständigkeit des Inhalts beigetragen haben.

In letzter Zeit sind zahlreiche Lehrbücher zur Approximationstheorie erschienen, was die Frage nach der Notwendigkeit eines weiteren aufwirft. Die Motivation für dieses Buch ergibt sich aus der Beobachtung, dass in der Fachliteratur und in den meisten Lehrwerken der Fokus oft nicht auf den Anwendungen liegt. Es besteht eine Diskrepanz zwischen den von Mathematikern intensiv bearbeiteten Themen und den Bereichen, in denen mathematische Untersuchungen aus praktischen Gründen dringend erforderlich sind. Die Approximationsprobleme, die in physikalischen und technischen Fragestellungen auftreten, sind vielfältig und oft andersartig als die in der traditionellen Theorie behandelten. Diese Probleme sind nicht nur mathematisch interessant, sondern bieten auch ein reichhaltiges Betätigungsfeld für die Forschung. Studierende und Doktoranden haben häufig nach Themen aus der Approximationstheorie mit praktischer Relevanz gefragt. Dieses Buch zielt darauf ab, die Lücke zwischen Theorie und Anwendung zu schließen. Besonders die Tschebyscheffsche Approximation (T. A.) wird behandelt, da sie anderen Typen in ihrer Bedeutung überlegen scheint. Das Buch widmet sich sowohl der Theorie als auch den Anwendungen der T. A. und bietet am Ende verschiedene Übungsaufgaben, um die Verbindung zwischen Theorie und Praxis zu stärken.