"Recursive Functions and Metamathematics" explores completeness and decidability in theories through recursive functions. It covers Gödel's incompleteness theorems, their generalizations, and decidability theory, alongside historical and philosophical contexts. The book is self-contained, suitable for scholars and advanced students in logic and mathematics.
Focusing on the intersection of philosophy and mathematics, this book delves into the contributions of Polish logicians and mathematicians during the 1920s and 1930s, a pivotal era for Polish science. It explores whether advancements in logic and mathematics were paralleled by philosophical inquiry, analyzing the works and ideas of notable figures such as Waclaw Sierpinski and Alfred Tarski. Additionally, it provides context by examining the influence of earlier thinkers like Jan Sniadecki and Józef Maria Hoene-Wronski, enriching the understanding of this intellectual landscape.
Exploring critical issues in the philosophy of logic and mathematics, this volume addresses topics such as reverse mathematics, the nature of proof, and the significance of Church's Thesis. It delves into the relationship between mathematics and theology, the concept of truth, and examines the philosophical landscape of logic and mathematics during interwar Poland. The diverse range of problems presented offers a comprehensive look at the intricate connections between these fields.
Studies in the Philosophy of Mathematics and History of Logic
The volume contains twenty essays devoted to the philosophy of mathematics and the history of logic. They have been divided into four parts: general philosophical problems of mathematics, Hilbert’s program vs. the incompleteness phenomenon, philosophy of mathematics in Poland, mathematical logic in Poland. Among considered problems are: epistemology of mathematics, the meaning of the axiomatic method, existence of mathematical objects, distinction between proof and truth, undefinability of truth, Gödel’s theorems and computer science, philosophy of mathematics in Polish mathematical and logical schools, beginnings of mathematical logic in Poland, contribution of Polish logicians to recursion theory.
Podręcznik składa się z dwóch części. Część pierwszą stanowią rozdziały 1 i 2 poświęcone wykładowi elementów rachunku zdań i rachunku predykatów. Druga część, tzn. rozdziały 3-9, poświęcona jest wykładowi tzw. naiwnej teorii mnogości, czyli teorii mnogości w ujęciu nieaksjomatycznym. Ostatni rozdział 10 prezentuje aksjomatyczne ujęcie teorii mnogości Zermela-Fraenkla. Książkę uzupełnia aneks zawierający uwagi historyczne o rozwoju logiki i teorii mnogości. Na końcu poszczególnych rozdziałów podano zadania mające pomóc w przyswojeniu studiowanego materiału.
Autor podaje przystępny wykład zagadnień związanych z twierdzeniem Gődla o niezupełności oraz z problemem rozstrzygalności i nierozstrzygalności teorii. Podręcznik napisany niezwykle interesująco, przeznaczony dla czytelnika posiadającego podstawowe wiadomości z zakresu kursu logiki.
Monografia jest prezentacją i analizą koncepcji filozoficznych dotyczących matematyki i logiki formułowanych przez polskich logików, matematyków i filozofów w latach 1918-1939. Był to szczególny okres w historii nauki polskiej - to wtedy powstały i rozwijały się lwowsko-warszawska szkoła filozoficzna i związana z nią warszawska szkoła logiczna oraz polska szkoła matematyczna. Główne pytanie, na które poszukuje się odpowiedzi w książce, to pytanie o to, czy temu burzliwemu i intensywnemu rozwojowi logiki i matematyki towarzyszyła, i w jakim stopniu, refleksja filozoficzna oraz czy miała ona jakiś wpływ - i jeśli tak, to jaki - na kierunki prowadzonych badań i uzyskiwane wyniki. W książce rozważa się poglądy i koncepcje takich uczonych, jak: Wacław Sierpiński, Zygmunt Janiszewski, Hugo Steinhaus, Leon Chwistek, Jan Łukasiewicz, Stanisław Leśniewski, Zygmunt Zawirski, Tadeusz Kotarbiński, Kazimierz Ajdukiewicz, Alfred Tarski, Andrzej Mostowski, Henryk Mehlberg, Jan Sleszyński, Stanisław Zaremba czy Witold Wilkosz. Mówi się też o ich poprzednikach: Janie Śniadeckim, Józefie Marii Hoene-Wrońskim, Samuelu Dicksteinie i Edwardzie Stammie. Monografia uzupełnia lukę w polskim piśmiennictwie historyczno-filozoficznym, stanowiąc uzupełnienie książki Jana Woleńskiego Filozoficzna szkoła lwowsko-warszawska.
Książka składa się z dwu zasadniczych części. W Części I autor omawia stanowiska w filozofii matematyki do końca XIX wieku, czyli do czasu powstania współczesnych kierunków filozofii matematyki. Tym ostatnim poświęcona jest Część II, w której mowa o logicyzmie, intuicjonizmie i trendach konstruktywistycznych, o formalizmie oraz o najnowszych tendencjach w filozofii matematyki. Książka zawiera też trzy dodatki: I. Poświęcony jest filozoficznym problemom teorii mnogości. II. Omawia pewne problemy filozofii geometrii. III. Zawiera krótkie biogramy matematyków i filozofów, którzy w sposób istotny wpłynęli na rozwój filozofii matematyki. Podręcznik adresowany zarówno do matematyków, jak i filozofów. Obejmuje całokształt historii filozofii od czasów greckich aż do najnowszych tendencji. Jest napisany jasno, kompetentnie i nie wymaga od czytelnika fachowego przygotowania w dziedzinie matematyki.
Dieses Werk gibt eine überwiegend elementare Einführung in philosophische Probleme und Hintergründe des mathematischen Denkens und Sprechens, Lehrens und Lernens. Sie wendet sich an Lehrende und Studierende der Mathematik und der Philosophie. Ausgangspunkt und immer wieder Bezugspunkt sind die reellen Zahlen. In pointierter Weise werden mathematische und philosophische Probleme und Fragen vermerkt, die sich auf dem Weg zu ihnen stellen. Ein umfangreicher Abriss von Auffassungen aus der Geschichte der Mathematik und der Philosophie bis hin zu aktuellen Strömungen bildet den Hintergrund für ihre eingehende Diskussion. Kapitel über Mengenlehre, Logik und Axiomatik, über ungelöste und unlösbare Probleme und fundamentale Ergebnisse schließen den Text ab.