Thomas Bedürftig Livres

This book serves as an introduction to the philosophy of mathematics, exploring fundamental concepts, constructions, and methods from the perspectives of mathematical research and education. It seeks answers through both mathematics and its philosophical underpinnings, tracing developments from their origins to the present. A pivotal focus is the introduction of real numbers in the 19th century, which marked a significant shift in the foundations of mathematics. Key topics include the nature of numbers, infinity, the continuum, infinitesimals, the applicability of mathematics, sets, logic, provability, truth, and the axiomatic approach. Chapter 6 specifically addresses the role of infinitesimals in mathematics and analysis. The authors, who are mathematicians, aim to engage mathematicians, mathematics educators, and students in philosophical discourse. The text is also relevant for professional philosophers and philosophy students, as it approaches philosophical questions through a mathematical lens. An elementary understanding of mathematics suffices for comprehension. The book reflects on historical perspectives, contemporary mathematical practices, and recent advancements, based on the third, revised German edition. It is intended for mathematicians, students, teachers, researchers, and anyone interested in the intersection of mathematics and philosophy.

In diesem Buch wird der Weg von den infinitesimalen Größen bei Leibniz über die Grenzwerte zu den infinitesimalen Zahlen der Nichtstandardanalysis skizziert. Die begrifflichen Probleme der Grenzwerte werden diskutiert und der Einstieg in die Analysis mit infinitesimalen und infiniten Zahlen vorgestellt. Ein Vergleich mit dem Grenzwerteinstieg zeigt die Möglichkeiten der infinitesimalen Zahlen. Der Grenzwertformalismus entfällt. Der Einstieg in die Analysis wird arithmetisch und zugleich anschaulich. Da die heutige Analysis in Grenzwerten geschrieben ist, geht es nicht um eine Entscheidung, sondern um Offenheit. Infinitesimale Zahlen erweitern das Repertoire, vertiefen und verändern das mathematische Denken und öffnen den Blick, nicht zuletzt auf die Grenzwerte.

Das Buch fasst Studien über Zahlen und Zahlbegriff des Autors aus den letzten 25 Jahren zusammen. Der Hintergrund der Studien ist mathematisch, ihr Anlass didaktisch, ihr Zweck vielfältig. Das letzte Kapitel ist ein Blick zurück auf Inhalte und Methode - und auch ein wenig auf die vergangene Zeit. Die Methode der Studien, im Untertitel als “mathematisch-didaktisch” bezeichnet, ist heute, in einer Zeit der Dominanz der Empirie in der Didaktik, selten. Das uralte, unglückliche “Mengenlehre”-Kapitel im Unterricht der 1970-er Jahre scheint die (unschuldigen) mathematischen Grundlagen nachhaltig in Verruf gebracht zu haben. Es hat zugleich die Didaktik auf die notwendige Empirie verwiesen - und seitdem manchen Empirismus hervorgerufen. Es ist an der Zeit, dass die Mathematikdidaktik sich, neben einer breiten Empirie, wieder stärker der Mathematik der Zahlen und des Zahlbegriffs zuwendet. Diese Mathematik kann begriffliche Zusammenhänge aufdecken und zur Struktur und Übersicht beitragen - wichtig in einer Zeit der Gefahr empirischer Vereinzelung und Uferlosigkeit. Die vorgelegten Studien versuchen, einen kleinen Beitrag dazu zu leisten.

Dieses Werk gibt eine überwiegend elementare Einführung in philosophische Probleme und Hintergründe des mathematischen Denkens und Sprechens, Lehrens und Lernens. Sie wendet sich an Lehrende und Studierende der Mathematik und der Philosophie. Ausgangspunkt und immer wieder Bezugspunkt sind die reellen Zahlen. In pointierter Weise werden mathematische und philosophische Probleme und Fragen vermerkt, die sich auf dem Weg zu ihnen stellen. Ein umfangreicher Abriss von Auffassungen aus der Geschichte der Mathematik und der Philosophie bis hin zu aktuellen Strömungen bildet den Hintergrund für ihre eingehende Diskussion. Kapitel über Mengenlehre, Logik und Axiomatik, über ungelöste und unlösbare Probleme und fundamentale Ergebnisse schließen den Text ab.